Terme und Gleichungen lösen: So fällt es Ihrem Kind leicht!

4 hilfreiche Tipps mit Beispiel!

Das Verstehen dieses Stoffs ist wichtig, da viele mathematische Aufgaben auch in den Folgejahren (beispielsweise Funktionen, Differenzial- und Integralrechnung) nur zu lösen sind, wenn die mathematischen Zusammenhänge verstanden sind und angewendet werden können. Die Verzweiflung vieler Schüler beim Thema „Gleichungen“ kann man an Beiträgen in vielen Internetforen erkennen. In der Ratgeber-Community gutefrage.net fanden wir beispielsweise folgenden Eintrag:

„hi, ich habe gerade in der schule das thema terme und gleichungen (klasse 8). aber meine mathematik lehrerINN erklärt uns das so, dass wir es NCHT lernen. kein schüler kann sie leiden. jedenfalls kann mir jmd. eine seite oder ein link hinschreiben, wo diese sachen richtig gut und ausführlich erklärt werden? ihr selber dürft das auch tun. danke jedenfalls vorher schonmal …:)“

Bevor man sich jedoch einem mathematischen Thema erfolgreich nähern kann, müssen immer sämtliche Fachbegriffe vorab geklärt sein. Beim Thema „Gleichungen“ trifft Ihr Kind mindestens auf die folgenden vier wichtigen Begriffe:

Gleichungen, Terme, Variablen und Äquivalenzumformung

Bei wikipedia gibt es dazu eine schöne Definition:

„Eine Gleichung ist in der Mathematik eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens („=“) symbolisiert wird. Formal hat eine Gleichung die Gestalt T1 = T2 mit zwei Termen T1 und T2. Gleichungen sind entweder wahr beziehungsweise erfüllt (beispielsweise 1 = 1) oder falsch (beispielsweise 1 = 2).

Wenn zumindest einer der Terme T1, T2 von Variablen (einem Platzhalter für eine Zahl) abhängig ist, liegt nur eine Aussageform vor; ob die Gleichung wahr oder falsch ist, hängt dann von den konkret eingesetzten Werten ab. Die Werte der Variablen, für die die Gleichung erfüllt ist, heißen Lösungen der Gleichung.“

Dazu ein Beispiel einer Gleichung

• x + 4 = 7 ist eine Gleichung,
• x + 4 und 7 sind jeweils Terme,
• x ist eine Variable bzw. ein Platzhalter.

Diese Gleichung ist schon auf den ersten Blick einfach zu lösen. Man überlegt, welche Zahl für die Variable x eingesetzt werden muss, um die Zahl 7 zu erhalten. Das ist die Zahl 3. Die Lösung lautet also: x = 3

Um Gleichungen aufzulösen, bedient man sich der so genannten Äquivalenzumformung. Bei wikipedia findet man dazu folgende Definition: 

• „In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung (lat. aequus = gleich; valere = wert sein) eine Umformung einer Gleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt. Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen.“ 

Dabei stellt man beispielsweise durch Addition oder Subtraktion die Gleichung solange um, bis die Variable x auf einer Seite des Gleichheitszeichens allein steht.

Um in unserem Beispiel + 4 auf der linken Seite wegzubekommen, zieht man von beiden Termen, also auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jeweils die Zahl 4 ab:

x + 4 (– 4) = 7 (– 4)

Auf diese Weise erhält man die Lösung: x = 3

• Weiterführendes: Häufig wird eine Äquivalenzumformung mit einem doppelten beidseitigem Pfeil dargestellt: <=> Das deutet an, dass solche Umformungen in beide Richtungen vorgenommen werden können, ohne das Ergebnis zu verändern.

Tipp 1: Alles muss im Gleichgewicht bleiben!

Wenn Ihr Kind eine Äquivalenzumformung durchführt, um eine Gleichung zu lösen, muss es beachten, dass die Gleichung jederzeit im Gleichgewicht bleibt. Stellen Sie sich einen Gewichtheber vor. Nimmt man ihm nur auf einer Seite eine Gewichtscheibe ab oder legt eine weitere Scheibe hinzu, bekommt er Probleme, da die Hanteln nicht mehr im Gleichgewicht sind. Nimmt man hingegen auf beiden Seiten die gleiche Gewichtsveränderung vor, bleibt die Hantel im Gleichgewicht – und der Gewichtheber hält die Balance. Wenn Ihr Kind beim Lösen einer Gleichung den Wert auf einer Seite ändert, indem es eine Zahl oder einen Term addiert bzw. subtrahiert, dann muss es das auch auf der anderen Seite der Gleichung tun.

Beispiel: 5x + 3 = 4x + 7

Schritt 1: x auf eine Seite bringen, indem 4x auf beiden Seiten subtrahiert wird: 

5x (– 4x) + 3 = 4x (– 4x) + 7

1x + 3 = 7 (für 1x wird mathematisch fast immer einfach nur x geschrieben)

• Achtung: häufiger Denkfehler!
  
  5x bedeutet immer 5 mal x. Viele Schüler verrechnen sich, da sie 5x für 5 plus x halten. Das ist falsch. Solange kein anderes Rechenzeichen zwischen einer Zahl und einer Variable steht, wird multipliziert!

Schritt 2: Nun wird x auf der linken Seite der Gleichung allein gestellt, indem die Zahl 3 auf beiden Seiten subtrahiert wird:

x + 3 (– 3) = 7 (– 3)

Lösung nach Schritt 2: x = 4

Tipp 2: Das Ergebnis immer kontrollieren!

Dazu muss Ihr Kind das Ergebnis anstelle der gesuchten Variable in die Ausgangsgleichung einsetzen.

In unserem Beispiel: 

5x + 3 = 4x + 7

Das Ergebnis lautet: x = 4

Also wird der Wert 4 für x nun einfach in die Gleichung eingesetzt:

5 (· 4) + 3 = 4 (· 4) + 7

20 + 3 = 16 + 7

Lösung: 23 = 23

Somit ist bestätigt , dass die Lösung der Gleichung richtig ist!

• Zusatz-Tipp für Ihr Kind: YouTube zum Verstehen mathematischer Zusammenhänge nutzen!
  
  Nicht nur Gleichungen, sondern auch andere mathematische Zusammenhänge werden mittlerweile in tollen Videoclips auf YouTube erklärt und vor allen Dingen veranschaulicht. Gerade das für Schüler so wichtige Vorstellungsvermögen wird auf diese Weise angeregt.

Tipp 3 : Zu Beginn immer erst ausmultiplizieren!

Wenn eine Gleichung Klammern aufweist, sollte zur Vereinfachung immer erst ausmultipliziert werden, um die Klammer aufzulösen. Dazu werden alle Zahlen und Variablen in der Klammer mit der Zahl vor der Klammer multipliziert:

Beispiel: 6(40 – 4x) – 3x = 2(32 + 7x) + 135

40 (· 6) – 4x (· 6) – 3x = 32 (· 2) + 7x (· 2) + 135

240 – 24x – 3x = 64 + 14x + 135

Achtung: An dieser Stelle die Vorzeichen beachten! Auf der linken Seite können nun 24x und 3x zusammengefasst werden. Dabei muss berücksichtigt werden , dass vor 24x ein Minus steht.

Also : – 24x – 3x = – 27x

Und jetzt weiter zur Lösung der Gleichung (Ziel: Zusammenfassen):

240 – 24x – 3x = 64 + 14x + 135

240 – 27x = 199 + 14x

Nun auf beiden Seiten jeweils 27x addieren und 199 subtrahieren 

(Ziel: Alle x auf eine Seite der Gleichung bringen):

240 (– 199) – 27x (+ 27x) = 199 (– 199) + 14x (+ 27x)

41 = 41x

Im letzten Schritt werden beide Seiten durch 41 dividiert,

um 1x auf der rechten Seite allein zu stellen (denn 41x : 41 = 1x oder x).

41 (: 41) = 41x (: 41)

Lösung: 1 = x, bzw. x = 1

Tipp 4: Beim Auflösen von Klammern die Klammerregeln beachten!

Befindet sich vor einem Klammerausdruck ein Minus, müssen nach Auflösung der Klammer die Rechenzeichen in der Klammer „umgedreht“ werden: Aus Plus wird Minus, und aus Minus wird Plus.

Beispiel: 20 – (x + 6) = (x + 6) + 2

Nun werden die Klammern aufgelöst. Dabei ergibt sich auf der linken Seite eine Änderung, da vor der Klammer ein Minus steht.

20 – x – 6 = x + 6 + 2

14 – x = x + 8

Jetzt wird auf beiden Seiten x addiert und 8 subtrahiert 

(Ziel: Alle x auf eine Seite bringen):

14 (– 8) – x (+ x) = x (+ x) + 8 (– 8)

6 = 2x

Im letzten Schritt werden beide Seiten durch 2 dividiert.

6 (: 2) = 2x (: 2)

Lösung: 3 = x, bzw. x = 3